Dalekie obserwacje a krzywizna Ziemi

Zdjęcia na duże odległości, zwłaszcza Tatry widziane z daleka, wywołują liczne komentarze na temat kształtu naszej planety, a także dyskusje czy taki widok jest możliwy.

Takie obserwacje są jednoznacznym dowodem na obecność krzywizny Ziemi.

Przeanalizujmy to na przykładzie widoku na Bieszczady z Radziejowej w Beskidzie Sądeckim.

Przed Bieszczadami widać górę z charakterystycznym masztem – to Stebnicka Magura na Słowacji (900 m n.p.m.), oddalona o 47,4 km. Tuż poniżej jej szczytu (896 m n.p.m.) stoi maszt o wysokości 81 m. Za nią, po prawej stronie widnieje Roh (1255 m n.p.m.) – najwyższy wierzchołek Połoniny Wetlińskiej, do którego odległość wynosi 142,9 km. Jego szczyt jest widoczny minimalnie poniżej poziomu masztu. No właśnie – poniżej, a Roh jest prawie 300 metrów wyżej niż szczyt masztu.

 

Analiza dla płaskiej Ziemi

Na płaskiej planecie kąt względem płaszczyzny poziomej, pod którym patrzymy na obiekt, zależałby od stosunku różnicy wysokości pomiędzy widzianym obiektem a punktem, z którego prowadzimy obserwację do odległości. Dokładnie rzecz biorąc ten stosunek jest sinusem kąta, ale dla małych kątów sinus jest w przybliżeniu równy wielkości kąta wyrażonej w radianach – kąt jest zatem proporcjonalny do tego ilorazu.

Na płaskiej planecie kąt względem płaszczyzny poziomej a widzianym obiektem zależy od stosunku wysokości względem punktu obserwacyjnego do odległości. h1 / |OA| = h2 / |OB|

Dane potrzebne do obliczeń:

  • wysokość punktu obserwacji na wieży widokowej na Radziejowej: 1284 m n.p.m.
  • wysokość masztu na Stebnickiej Magurze: 977 m n.p.m.
  • wysokość Roha: 1255 m n.p.m.
  • odległość Radziejowa – maszt: 47,4 km
  • odległość Radziejowa – Roh: 142,9 km

Liczymy więc kąt dla masztu: (977 – 1284) / 47400 ≈ -0,00648 oraz dla Roha: (1255 – 1284) / 142900 ≈ -0,00020.

Przeliczając radiany na stopnie, minuty i sekundy kątowe, uzyskujemy wartości -22’16,6″ dla masztu oraz -0’41,9″ dla Roha. Minus oznacza widoczność poniżej płaszczyzny poziomej. Maszt powinien być więc widoczny ponad 21 minut kątowych poniżej Roha. Wykorzystując powyższe obliczenia, możemy porównać to z wysokością masztu. Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że sinus kąta pomnożony przez długość przeciwprostokątnej jest równy długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta – w tym przypadku sinus pomnożony przez odległość do masztu da nam długość pionowego odcinka pomiędzy szczytem masztu a punktem powyżej niego, widocznym na poziomie Roha. Mnożymy więc różnicę kątów przez odległość: (-0,0002 – (-0,00648)) * 47400 m ≈ 298 m – oznacza to, że na płaskiej Ziemi Roh byłby widoczny na poziomie punktu położonego 298 metrów powyżej szczytu masztu.

 

Analiza dla kulistej Ziemi

A teraz przyjmijmy kulisty kształt Ziemi o promieniu 6371 km.

Na kąt, pod jakim widać obiekt, wpływa zakrzywienie planety. Im większa odległość, tym większe zakrzywienie – odległy teren coraz bardziej “ucieka” w dół. Jest więc możliwe, że wyższy obiekt, ale położony dalej, będzie widoczny poniżej niższego, położonego bliżej.

Niższy obiekt położony bliżej jest widoczny wyżej nad horyzontem niż obiekt wyższy, ale dalszy.

Wielkość pozornego zmniejszenia wysokości, czyli dokładniej odległość pomiędzy płaszczyzną prostopadłą do pionu w danym punkcie a punktem znajdującym się na tej samej wysokości n.p.m. (nazywaną płaszczyzną horyzontu astronomicznego), położonym w odległości d mierzonej wzdłuż obwodu planety (jako długość łuku), można obliczyć następującym wzorem: a = R * (1 – cos (d / R)), gdzie R – promień Ziemi.

Wyprowadzenie wzoru na podstawie poniższego rysunku.
α = d / R
z definicji funkcji cosinus: cos (d / R) = (R – a) / R
R * cos (d / R) = R – a
a = R – R * cos (d / R)
a = R (1 – cos (d / R))

Analogicznie do obliczeń dla płaskiej planety, możemy teraz obliczyć sinusy kątów dla masztu i Roha z uwzględnieniem krzywizny Ziemi – od wysokości n.p.m. należy odjąć obliczoną według powyższego wzoru wartość a.
Dla masztu na Stebnickiej Magurze:

a = 6371 km * (1 – cos (47,4 km / 6371 km)) ≈ 0,176 km

Dla Roha:

a = 6371 km * (1 – cos (142,9 km / 6371 km)) ≈ 1,603 km

Sinusy kątów względem płaszczyzny prostopadłej do pionu dla Radziejowej, równe w przybliżeniu wielkości tych kątów, wynoszą zatem:

dla masztu (977 – 176 – 1284) / 47400 ≈ -0,01019,

dla Roha (1255 – 1603 – 1284) / 142900 ≈ -0,01142,

a kąty wyrażone w minutach i sekundach odpowiednio -35’1,8″ i -39’15,7″.
Roh powinien być widoczny 4’13,9″ poniżej wierzchołka masztu, czyli mniej więcej na poziomie 1/4 wysokości masztu. Na zdjęciu Roh jest jednak wyżej, prawie na poziomie szczytu masztu. Z czego może to wynikać?

 

Wpływ refrakcji atmosferycznej

Obserwacja nie odbywa się w próżni, lecz w ziemskiej atmosferze, która składa się z powietrza o zmiennej gęstości, a co za tym idzie, zmienny jest współczynnik załamania światła. W efekcie światło przebiegające przez atmosferę nie biegnie w linii prostej, lecz ulega zakrzywieniu. Więcej o tym zjawisku można przeczytać na stronie Refrakcja atmosferyczna.

Sprawdźmy wpływ refrakcji na nasz przykład. Zgodnie ze wzorem efektywny promień Ziemi odpowiadający k = 0,13 wynosi 6371 km / (1 – 0,13) ≈ 7323 km. Tę wartość podstawiamy jako R we wzorze a = R * (1 – cos (d / R)), a następnie tak obliczone a wykorzystujemy do obliczenia kątów względem płaszczyzny horyzontu astronomicznego.

Dla masztu na Stebnickiej Magurze a = 7323 km * (1 – cos (47,4 / 7323)) ≈ 0,153 km, sinus kąta wynosi (977 – 153 – 1284) / 47400 ≈ -0,00970.
Dla szczytu Roha a = 7323 km * (1 – cos (142,9 / 7323)) ≈ 1,394 km, sinus kąta wynosi (1255 – 1394 – 1284) / 142900 ≈ -0,00996.

Różnica sinusów pomnożona przez odległość do masztu jest równa (0,00996 – 0,0097) * 47400 m = 12,3 m. Dla refrakcji o współczynniku 0,13 Roh powinien być widoczny na poziomie punktu znajdującego się 12 m poniżej szczytu masztu. Wartość ta jest zbliżona do tego, co widzimy na zdjęciu. Dalekie widoki są więc dowodem nie tylko na kulistość Ziemi, ale również na zjawisko refrakcji atmosferycznej.

Tak naprawdę Ziemia nie jest kulą, lecz geoidą – bryłą zbliżoną do elipsoidy obrotowej, spłaszczoną na biegunach ze względu na siłę odśrodkową wynikającą z ruchu obrotowego. Różnica względem kształtu kulistego jest jednak na tyle mała, że nie wpływa w sposób zauważalny na obserwowany widok.

 

Porównanie widoku rzeczywistego i dla płaskiej Ziemi

Z drogi Salomin-Józefów na południowy zachód od Kraśnika widać kilka wierzchołków Tatr Wysokich przy standardowej refrakcji atmosferycznej. Gdyby Ziemia była płaska, Tatry byłyby widoczne gołym okiem w całej okazałości, od podnóża po szczyty, z Tatrami Zachodnimi włącznie – aż po Siwy Wierch na zachodnim ich krańcu. Byłoby widać m.in. Giewont i szczyty reglowe, takie jak Gęsia Szyja czy Sarnia Skała, a przed Tatrami rozciągałaby się panorama Beskidów. Poniższe ilustracje są symulacjami panoram z punktu przy drodze Salomin-Józefów (50°48’38,6″N 22°04’31,2″E), utworzonymi za pomocą narzędzia online Ulricha Deuschle.

Zbliżenie na widoczne szczyty
Widoczna jest część gór powyżej niebieskiej linii – widać, jak duża część Tatr jest schowana za horyzontem.

Z Lublina nie widać żadnych pasm górskich. Gdyby jednak Ziemia była płaska, z lubelskich bloków rozpościerałaby się panorama Karpat polskich, słowackich, czeskich, ukraińskich i rumuńskich, Gór Świętokrzyskich, a nawet Sudetów i Alp. Niewykluczone, że o wschodzie słońca (a może o zachodzie? – w zależności od lokalizacji końca planety) byłyby widoczne szczyty Himalajów – programy analizujące ukształtowanie terenu mają zbyt mały zasięg, by to sprawdzić.