Dalekie obserwacje a krzywizna Ziemi

Spis treści
Wstęp

Zdjęcia na duże odległości, zwłaszcza Tatry widziane z daleka, wywołują liczne komentarze na temat kształtu naszej planety, a także dyskusje czy taki widok jest możliwy.

Czy rzeczywiście tak dalekie obserwacje obiektów na powierzchni Ziemi nie byłyby możliwe na kulistej (czy ściślej – geoidalnej) planecie?

Prawda jest taka, że obserwacje potwierdzają obecność i wielkość krzywizny Ziemi, a także występowanie zjawiska refrakcji światła w atmosferze. Widać taką część odległych gór (czy też innych obiektów), jaka powinna być widoczna przy uwzględnieniu tych czynników i ukształtowania terenu na linii obserwacji. Dalekie widoki na płaskiej planecie wyglądałyby zupełnie inaczej – oddalone pasma górskie byłyby widoczne w całości, a nie tylko partie szczytowe.

Najlepiej przeanalizować to na przykładzie. Dobrze nadaje się do tego zdjęcie przedstawiającego odległe góry – widok na Bieszczady z Radziejowej w Beskidzie Sądeckim.

Bieszczady widziane z Radziejowej

Zdjęcie zostało zrobione z wysokości ok. 1284 m n.p.m. Przed Bieszczadami widać górę z charakterystycznym masztem – to Stebnicka Magura na Słowacji (900 m n.p.m.), oddalona o 47,4 km. Tuż poniżej jej szczytu (na wys. 896 m n.p.m.) stoi maszt o wysokości 81 m. Za nią, po prawej stronie widnieje Roh (1255 m n.p.m.) – najwyższy wierzchołek Połoniny Wetlińskiej, do którego odległość wynosi 142,9 km. Jego szczyt jest widoczny minimalnie poniżej poziomu masztu. No właśnie – poniżej, a Roh jest prawie 300 metrów wyżej niż szczyt masztu. Na płaskiej planecie byłoby to niemożliwe, bieszczadzkie wierzchołki musiałyby wystawać znacznie wyżej.

Obliczmy więc kąt, pod którym widać te obiekty względem płaszczyzny poziomej dla Radziejowej (oznaczmy go literą α). Im większy jest ten kąt, tym obiekt jest widoczny wyżej. Wykorzystamy tu fakt, że dla małych kątów sinus jest w przybliżeniu równy wielkości kąta wyrażonej w radianach – dla 1° błąd wynosi zaledwie 0,005%, dla mniejszych kątów jeszcze mniej, więc dokładność tak uproszczonych obliczeń pozostaje bardzo duża.

Do obliczeń niezbędne będą następujące dane:

  • wysokość punktu obserwacji (taras wieży widokowej na Radziejowej): 1284 m n.p.m.
  • wysokość masztu na Stebnickiej Magurze: 977 m n.p.m.
  • wysokość Roha: 1255 m n.p.m.
  • odległość Radziejowa – maszt: 47,4 km = 47400 m
  • odległość Radziejowa – Roh: 142,9 km = 142900 m

 

Obliczenia dla płaskiej planety

Na płaskiej planecie sinus kąta α (a więc w wystarczająco dokładnym przybliżeniu miara tego kąta) jest ilorazem różnicy wysokości pomiędzy widzianym obiektem a punktem, z którego prowadzimy obserwację oraz odległości.

Kąty widzenia obiektów na płaskiej powierzchni
Na płaskiej planecie kąt α względem płaszczyzny poziomej a widzianym obiektem zależy od stosunku wysokości względem punktu obserwacyjnego do odległości. α₁ = h1 / |OA| = h2 / |OB| = α₂

Liczymy więc kąt dla masztu:

α = (977 – 1284) / 47400 ≈ -0,00648 rad = -22’16,6″

oraz dla Roha:

α = (1255 – 1284) / 142900 ≈ -0,00020 rad = -0’41,9″

Minus oznacza widoczność poniżej płaszczyzny poziomej. Maszt powinien być więc widoczny ponad 21 minut kątowych poniżej Roha, gdyż tyle wynosi różnica pomiędzy obliczonymi kątami. Możemy porównać to z wysokością masztu. Z definicji łukowej miary kąta wynika, że owa różnica kątów (w radianach) pomnożona przez odległość do Magury da nam wysokość nad jej szczytem, na poziomie której powinien być widoczny Roh. Liczymy więc: (-0,0002 – (-0,00648)) * 47400 m ≈ 298 m – oznacza to, że na płaskiej Ziemi Roh powinien być widoczny na poziomie punktu położonego 298 metrów powyżej szczytu masztu. Widoczność Roha poniżej masztu jest dowodem na wypukłe zakrzywienie Ziemi.
Na tym można by było poprzestać, ale sprawdźmy czy krzywizna Ziemi ma odpowiednią wielkość.

 
 

Obliczenia dla kulistej Ziemi

Przyjmijmy kulisty kształt Ziemi o promieniu 6371 km.

Na kąt, pod jakim widać obiekt, wpływa zakrzywienie planety. Im większa odległość, tym większe zakrzywienie – odległy teren coraz bardziej „ucieka” w dół. Jest więc możliwe, że wyższy obiekt, ale położony dalej, będzie widoczny poniżej niższego, położonego bliżej, nawet jeśli punkty te są położone niżej niż miejsce prowadzenia obserwacji.

Kąty widzenia obiektów na kulistej planecie
Niższy obiekt położony bliżej może być widoczny wyżej nad horyzontem niż obiekt wyższy, ale dalszy, nawet jeśli znajdują się poniżej miejsca obserwacji.

Wielkość pozornego zmniejszenia wysokości, czyli dokładniej odległość pomiędzy płaszczyzną prostopadłą do pionu w danym punkcie a punktem znajdującym się na tej samej wysokości n.p.m. (nazywaną płaszczyzną horyzontu astronomicznego), położonym w odległości d mierzonej wzdłuż obwodu planety (jako długość łuku), można obliczyć następującym wzorem: a = R (1 / cos (d / R) – 1), gdzie R – promień Ziemi.

Wyprowadzenie wzoru na podstawie poniższego rysunku.

z definicji funkcji cosinus: cos (d / R) = R / (R + a)
(R + a) * cos (d / R) = R
a = R + a = R / cos (d / R)
a = R / cos (d / R) – R
a = R (1 / cos (d / R) – 1)

Analogicznie do obliczeń dla płaskiej planety, możemy teraz obliczyć kąt α dla masztu i Roha z uwzględnieniem krzywizny Ziemi – od wysokości n.p.m. widzianego punktu należy odjąć obliczoną według powyższego wzoru wartość a.
Dla masztu na Stebnickiej Magurze:

a = 6371 km * (1 / cos (47,4 km / 6371 km) – 1) ≈ 0,176 km = 176 m

Dla Roha:

a = 6371 km * (1 / cos (142,9 km / 6371 km) – 1) ≈ 1,603 km = 1603 m

Kąty α wynoszą zatem:

dla masztu α = (977 – 176 – 1284) / 47400 ≈ -0,01019 rad = -35’1,8″

dla Roha α = (1255 – 1603 – 1284) / 142900 ≈ -0,01142 rad = -39’15,7″

 

Roh powinien być widoczny 4’13,9″ poniżej wierzchołka masztu, czyli mniej więcej na poziomie 1/4 wysokości masztu. Na zdjęciu Roh jest jednak wyżej, prawie na poziomie szczytu masztu. Z czego może to wynikać?

 

 

Wpływ refrakcji atmosferycznej
Obserwacja nie odbywa się w próżni, lecz w ziemskiej atmosferze, która składa się z powietrza o zmiennej gęstości, a co za tym idzie, zmienny jest współczynnik załamania światła. W efekcie światło przebiegające przez atmosferę nie biegnie w linii prostej, lecz ulega zakrzywieniu. Jest to dokładnie to samo zjawisko, które obserwujemy na granicy powietrza i wody albo na granicy powietrza i szkła np. w soczewkach. Tutaj nie mamy jednak ostrej granicy między ośrodkami – zmiany gęstości powietrza są bardziej płynne, dlatego zamiast gwałtownej zmiany kierunku promienia światła mamy stopniową, łagodną zmianę kierunku na dużym dystansie.
Zjawisko to nosi nazwę refrakcji atmosferycznej. Zależy ona głównie od ciśnienia atmosferycznego, temperatury i wielkości pionowego gradientu termicznego, czyli zmiany temperatury powietrza z wysokością. Jej miarą jest współczynnik refrakcji, definiowany jako stosunek promienia krzywizny Ziemi do promienia krzywizny toru światła. Można go obliczyć ze wzoru k = 503 * p / T² * (0,0342 + dT / dh), gdzie p – ciśnienie w hPa, T – temperatura w kelwinach, dT / dh – pionowy gradient temperatury na 1 m wysokości. Przyjmuje się, że w standardowych warunkach k = 0,13, jednak przy niestandardowym rozkładzie temperatury, np. przy inwersji temperatury, wartość k może być wyższa, lokalnie nawet powyżej 1.
Geometrycznie efekt refrakcji atmosferycznej jest taki, jakby światło przebiegało po liniach prostych, a Ziemia miała promień krzywizny równy r = R / (1 – k), gdzie R – promień Ziemi, k – współczynnik refrakcji.
Matematyczne i fizyczne podstawy tego zjawiska wraz z wyprowadzeniem wzorów przedstawił na swojej stronie Walter Bislin.
Sprawdźmy wpływ refrakcji na nasz przykład. Zgodnie ze wzorem efektywny promień Ziemi odpowiadający k = 0,13 wynosi 6371 km / (1 – 0,13) ≈ 7323 km. Tę wartość podstawiamy jako R we wzorze a = R * (1 / cos (d / R) – 1), a następnie tak obliczone wartości a wykorzystujemy do obliczenia kątów względem płaszczyzny horyzontu astronomicznego.

Dla masztu na Stebnickiej Magurze:

a = 7323 km * (1 / cos (47,4 km / 7323 km) – 1) ≈ 0,153 km, α = (977 – 153 – 1284) / 47400 ≈ -0,00970 rad

Dla szczytu Roha:

a = 7323 km * (1 / cos (142,9 km / 7323 km) – 1) ≈ 1,394 km,  α = (1255 – 1394 – 1284) / 142900 ≈ -0,00996 rad

Różnica kątów pomnożona przez odległość do masztu jest równa (0,00996 – 0,0097) * 47400 m = 12,3 m. Dla refrakcji o współczynniku 0,13 Roh powinien być widoczny na poziomie punktu znajdującego się 12 m poniżej szczytu masztu. Wartość ta jest zbliżona do tego, co widzimy na zdjęciu. Dalekie widoki są więc dowodem nie tylko na kulistość Ziemi, ale również na zjawisko refrakcji atmosferycznej.

Tak naprawdę Ziemia nie jest kulą, lecz geoidą – bryłą zbliżoną do elipsoidy obrotowej, spłaszczoną na biegunach ze względu na siłę odśrodkową wynikającą z ruchu obrotowego. Różnica względem kształtu kulistego jest jednak na tyle mała, że nie wpływa w sposób zauważalny na obserwowany widok.

 

Geometryczny zasięg widoczności na terenie równinnym, bez uwzględnienia refrakcji, wynosi d = (h (2R + h))0,5, gdzie h – wysokość obserwatora, R – promień Ziemi. Wpływ refrakcji można uwzględnić, podstawiając efektywny promień Ziemi, obliczony z wyżej wymienionego wzoru r = R / (1 – k).
Porównajmy taki geometryczny zasięg dla następujących warunków:
  • p = 1000 hPa, T = 298 K (25 °C), dT/dh = -0,007 K/m, h = 0,3 km
  • p = 1000 hPa, T = 263 K (-10 °C), dT/dh = 0,01 K/m (inwersja temperatury – wzrost o 1 K na 100 m wysokości), h = 0,3 km

W pierwszym przypadku:

k = 503 * 1000 / 298² * (0,0343 + (-0,007)) ≈ 0,1546
r = 6371 km / (1 – 0,1546) ≈ 7536 km
d = (0,3 km * (2 * 7536 km + 0,3 km))0,5 ≈ 67,25 km

W drugim przypadku:

k = 503 * 1000 / 263² * (0,0343 + (0,01)) ≈ 0,3222
r = 6371 km / (1 – 0,3222) ≈ 9399 km
d = (0,3 km * (2 * 9399 km + 0,3 km))0,5 ≈ 75,1 km

Zmiana temperatury z 25 °C na -10 °C oraz wystąpienie inwersji termicznej zwiększyły zasięg widoczności o ok. 12%. Obliczenia dotyczą jednak obserwatora znajdującego się nad terenem równinnym – w rzeczywistości zmiana zasięgu widoczności bywa inna i zależy od ukształtowania terenu, a także od zmienności refrakcji atmosferycznej w przestrzeni – przede wszystkim w zależności od wysokości. Wzór na współczynnik refrakcji dotyczy bowiem warunków lokalnych – w określonym miejscu.

 

 

Wpływ zmienności refrakcji atmosferycznej
Refrakcja atmosferyczna, jak wyżej wspomniano, bywa zmienna. Im jest większa, tym światło ulega silniejszemu ugięciu, dzięki czemu może ominąć przeszkody zasłaniające widok w standardowych warunkach. Dlatego też przy niższej temperaturze i przy mniejszym niż standardowy spadku temperatury z wysokością możemy zobaczyć na horyzoncie to, co zazwyczaj jest niewidoczne. W górach zdarza się to najczęściej przy pogodzie wyżowej, gdy występuje inwersja termiczna spowodowana osiadaniem powietrza ku dołowi – w pewnym zakresie wysokości im wyżej, tym powietrze jest cieplejsze. Na nisko położonych terenach występuje inny rodzaj inwersji – inwersja radiacyjna. O zmierzchu w pogodny dzień grunt szybko ochładza się wskutek wypromieniowania ciepła, a razem z nim przygruntowa warstwa powietrza, która osiąga temperaturę niższą niż powietrze znajdujące się wyżej. Obserwacje w takich regionach charakteryzują się przebiegiem światła na długim dystansie na niewielkiej wysokości nad poziomem terenu, a więc w warstwie powietrza objętej inwersją. Mimo że zjawisko dotyczy cienkiej warstwy atmosfery, jego wpływ bywa więc bardzo istotny.
Obserwacje Tatr z Wyżyny Lubelskiej pokazują, że w chłodniejszej połowie roku po zachodzie słońca współczynnik refrakcji często osiąga wartości 0,2-0,22. Jest to wartość uśredniona, obliczona na podstawie zdjęć. Kluczowe znaczenia ma tu przygruntowa inwersja radiacyjna, mająca wpływ na przebieg światła tylko w części dystansu obserwacji. Jest więc bardzo prawdopodobne, że na tym obszarze wartość współczynnika jest jeszcze wyższa, natomiast dalej i wyżej – wyraźnie niższa, dając w rezultacie taki efekt, jakby na całym dystansie był on stały o wartości nieco powyżej 0,2.

W nocy, w warunkach inwersji radiacyjnej, obserwowano obiekty, dla widoczności których minimalny średni współczynnik refrakcji wynosi ok. 0,5 (np. światła wieżowców w Warszawie z Łysej Góry w Górach Świętokrzyskich).
Nawet pomimo tak silnej refrakcji wpływ krzywizny Ziemi na widziany krajobraz jest wyraźnie widoczny.