Czy rzeczywiście tak dalekie obserwacje obiektów na powierzchni Ziemi nie byłyby możliwe na kulistej (czy ściślej – geoidalnej) planecie?

Prawda jest taka, że obserwacje potwierdzają obecność i wielkość krzywizny Ziemi, a także występowanie zjawiska refrakcji światła w atmosferze. Widać taką część odległych gór (czy też innych obiektów), jaka powinna być widoczna przy uwzględnieniu tych czynników i ukształtowania terenu na linii obserwacji. Dalekie widoki na płaskiej planecie wyglądałyby zupełnie inaczej – oddalone pasma górskie byłyby widoczne w całości, a nie tylko partie szczytowe.

Najlepiej przeanalizować to na przykładzie. Dobrze nadaje się do tego zdjęcie przedstawiającego odległe góry – widok na Bieszczady z Radziejowej w Beskidzie Sądeckim.

Zdjęcie zostało zrobione z wysokości ok. 1284 m n.p.m. Przed Bieszczadami widać górę z charakterystycznym masztem – to Stebnicka Magura na Słowacji (900 m n.p.m.), oddalona o 47,4 km. Tuż poniżej jej szczytu (na wys. 896 m n.p.m.) stoi maszt o wysokości 81 m. Za nią, po prawej stronie widnieje Roh (1255 m n.p.m.) – najwyższy wierzchołek Połoniny Wetlińskiej, do którego odległość wynosi 142,9 km. Jego szczyt jest widoczny minimalnie poniżej poziomu masztu. No właśnie – poniżej, a Roh jest prawie 300 metrów wyżej niż szczyt masztu. Na płaskiej planecie byłoby to niemożliwe, bieszczadzkie wierzchołki musiałyby wystawać znacznie wyżej.

Obliczmy więc kąt, pod którym widać te obiekty względem płaszczyzny poziomej dla Radziejowej (oznaczmy go literą α). Im większy jest ten kąt, tym obiekt jest widoczny wyżej. Wykorzystamy tu fakt, że dla małych kątów sinus jest w przybliżeniu równy wielkości kąta wyrażonej w radianach – dla 1° błąd wynosi zaledwie 0,005%, dla mniejszych kątów jeszcze mniej, więc dokładność tak uproszczonych obliczeń pozostaje bardzo duża.

 

Obliczenia dla płaskiej planety

Na płaskiej planecie sinus kąta α (a więc w wystarczająco dokładnym przybliżeniu miara tego kąta) jest ilorazem różnicy wysokości pomiędzy widzianym obiektem a punktem, z którego prowadzimy obserwację oraz odległości.

Minus oznacza widoczność poniżej płaszczyzny poziomej. Maszt powinien być więc widoczny ponad 21 minut kątowych poniżej Roha, gdyż tyle wynosi różnica pomiędzy obliczonymi kątami. Możemy porównać to z wysokością masztu. Z definicji łukowej miary kąta wynika, że owa różnica kątów (w radianach) pomnożona przez odległość do Magury da nam wysokość nad jej szczytem, na poziomie której powinien być widoczny Roh. Liczymy więc: (-0,0002 – (-0,00648)) * 47400 m ≈ 298 m – oznacza to, że na płaskiej Ziemi Roh powinien być widoczny na poziomie punktu położonego 298 metrów powyżej szczytu masztu. Widoczność Roha poniżej masztu jest dowodem na wypukłe zakrzywienie Ziemi.
Na tym można by było poprzestać, ale sprawdźmy czy krzywizna Ziemi ma odpowiednią wielkość.

Przyjmijmy kulisty kształt Ziemi o promieniu 6371 km.

Na kąt, pod jakim widać obiekt, wpływa zakrzywienie planety. Im większa odległość, tym większe zakrzywienie – odległy teren coraz bardziej „ucieka” w dół. Jest więc możliwe, że wyższy obiekt, ale położony dalej, będzie widoczny poniżej niższego, położonego bliżej, nawet jeśli punkty te są położone niżej niż miejsce prowadzenia obserwacji.

Analogicznie do obliczeń dla płaskiej planety, możemy teraz obliczyć kąt α dla masztu i Roha z uwzględnieniem krzywizny Ziemi – od wysokości n.p.m. widzianego punktu należy odjąć obliczoną według powyższego wzoru wartość a.
Dla masztu na Stebnickiej Magurze:

Obserwacja nie odbywa się w próżni, lecz w ziemskiej atmosferze, która składa się z powietrza o zmiennej gęstości, a co za tym idzie, zmienny jest współczynnik załamania światła. W efekcie światło przebiegające przez atmosferę nie biegnie w linii prostej, lecz ulega zakrzywieniu. Jest to dokładnie to samo zjawisko, które obserwujemy na granicy powietrza i wody albo na granicy powietrza i szkła np. w soczewkach. Tutaj nie mamy jednak ostrej granicy między ośrodkami – zmiany gęstości powietrza są bardziej płynne, dlatego zamiast gwałtownej zmiany kierunku promienia światła mamy stopniową, łagodną zmianę kierunku na dużym dystansie.
Zjawisko to nosi nazwę refrakcji atmosferycznej. Zależy ona głównie od ciśnienia atmosferycznego, temperatury i wielkości pionowego gradientu termicznego, czyli zmiany temperatury powietrza z wysokością. Jej miarą jest współczynnik refrakcji, definiowany jako stosunek promienia krzywizny Ziemi do promienia krzywizny toru światła. Można go obliczyć ze wzoru k = 503 * p / T² * (0,0342 + dT / dh), gdzie p – ciśnienie w hPa, T – temperatura w kelwinach, dT / dh – pionowy gradient temperatury na 1 m wysokości. Przyjmuje się, że w standardowych warunkach k = 0,13, jednak przy niestandardowym rozkładzie temperatury, np. przy inwersji temperatury, wartość k może być wyższa, lokalnie nawet powyżej 1.

Geometrycznie efekt refrakcji atmosferycznej jest taki, jakby światło przebiegało po liniach prostych, a Ziemia miała promień krzywizny równy r = R / (1 – k), gdzie R – promień Ziemi, k – współczynnik refrakcji.
Matematyczne i fizyczne podstawy tego zjawiska wraz z wyprowadzeniem wzorów przedstawił na swojej stronie Walter Bislin.

Sprawdźmy wpływ refrakcji na nasz przykład. Zgodnie ze wzorem efektywny promień Ziemi odpowiadający k = 0,13 wynosi 6371 km / (1 – 0,13) ≈ 7323 km. Tę wartość podstawiamy jako R we wzorze a = R * (1 / cos (d / R) – 1), a następnie tak obliczone wartości a wykorzystujemy do obliczenia kątów względem płaszczyzny horyzontu astronomicznego.

Różnica kątów pomnożona przez odległość do masztu jest równa (0,00996 – 0,0097) * 47400 m = 12,3 m. Dla refrakcji o współczynniku 0,13 Roh powinien być widoczny na poziomie punktu znajdującego się 12 m poniżej szczytu masztu. Wartość ta jest zbliżona do tego, co widzimy na zdjęciu. Dalekie widoki są więc dowodem nie tylko na kulistość Ziemi, ale również na zjawisko refrakcji atmosferycznej.

Tak naprawdę Ziemia nie jest kulą, lecz geoidą – bryłą zbliżoną do elipsoidy obrotowej, spłaszczoną na biegunach ze względu na siłę odśrodkową wynikającą z ruchu obrotowego. Różnica względem kształtu kulistego jest jednak na tyle mała, że nie wpływa w sposób zauważalny na obserwowany widok.

 

• p = 1000 hPa, T = 298 K (25 °C), dT/dh = -0,007 K/m, h = 0,3 km
• p = 1000 hPa, T = 263 K (-10 °C), dT/dh = 0,01 K/m (inwersja temperatury – wzrost o 1 K na 100 m wysokości), h = 0,3 km

W pierwszym przypadku:

k = 503 * 1000 / 298² * (0,0343 + (-0,007)) ≈ 0,1546
r = 6371 km / (1 – 0,1546) ≈ 7536 km
d = (0,3 km * (2 * 7536 km + 0,3 km))^0,5 ≈ 67,25 km

W drugim przypadku:

k = 503 * 1000 / 263² * (0,0343 + (0,01)) ≈ 0,3222
r = 6371 km / (1 – 0,3222) ≈ 9399 km
d = (0,3 km * (2 * 9399 km + 0,3 km))^0,5 ≈ 75,1 km

 

 

Wpływ zmienności refrakcji atmosferycznej